Description

给定两个长度为 $n$ 的序列 $v_i,x_i$,定义一个点对 $(i,j)$($i \ne j$)的价值 $f(i,j)$ 为 $\max(v_i,v_j) \times |x_i-x_j|$,求:
$$\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n f(i,j)[i \ne j]$$

Solution

很难想象这只是一个绿题,可能拿树状数组做会舒服一点吧,这里介绍分治做法。

我们把 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n f(i,j)[i \ne j]$ 先拆成 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n \max(v_i,v_j)[i \ne j]$ 和 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n |x_i-x_j|[i \ne j]$,看看分别怎么计算:

  • $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n \max(v_i,v_j)[i \ne j]$ 我们把 $v_i$ 升序排列一下,那么第 $i$ 个数的贡献即为前 $i-1$ 个数。
  • $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n |x_i-x_j|[i \ne j]$ 我们把 $x_i$ 升序排列一下,那么定 $j$ 为右端点,下面这一段就可以如下化简:

$$\begin{aligned}\sum\limits_{i=1}^{j-1}|x_i-x_j|&=\sum\limits_{i=1}^{j-1}x_j-x_i\\&=\sum\limits_{i=1}^{j-1}x_j -\sum\limits_{i=1}^{j-1}x_i\\&=x_j \times (j-1)-sum_{j-1}\end{aligned}$$

其中 $sum_i$ 为前缀和。

那把这两个融合起来怎么搞呢?我们可以用结构体输入这两个序列,以 $v$ 为第一关键字先把序列进行排序。

现在对于区间 $[l,r]$ 计算他的贡献,这一段区间的 $v$ 是已经排好序的,所以考虑分治,将区间分为两半 $[l,mid]$ 和 $[mid+1,r]$,可以通过递归算出贡献在 $[l,mid]$ 的和贡献在 $[mid+1,r]$ 的,接下来要算的就是有贡献的跨越这两个区间的。

我们在 $[mid+1,r]$ 中枚举 $j$ 作为贡献的右界,算 $[l,j]$ 的贡献,并将其加起来作为跨区间的贡献和。将其分拆为 $v$ 和 $x$ 两部分计算:

  • $v$,既然排过序了那么全部都是 $v_j$。
  • $x$,其中 $[l,j]$ 的贡献会有一个位置 $i$ 使得 $i$ 是最后一个 $a_i(x) \le a_j(x)$ 的,那么区间 $[l,j]$ 的贡献就可以如下计算($sumx_{[l,r]}$ 为 $a_{[l,r]}(x)$ 的和):

$$\begin{aligned}x_j-x_l+x_j-x_{l+1}+\cdots+x_j-x_i+x_{i+1}-x_j+\cdots+x_{mid}-x_j&=\sum\limits_{k=l}^i x_j-x_k+\sum\limits_{k=i+1}^{mid} x_k-x_j\\&=\sum\limits_{k=l}^i x_j-\sum\limits_{k=l}^i x_k+\sum\limits_{k=i+1}^{mid} x_k-\sum\limits_{k=i+1}^{mid} x_j\\&=x_j \times (i-l+1)-sumx_{[l,i]}+sumx_{[i+1,mid]}-x_j \times (mid -i)\end{aligned}$$

通过预处理前缀和这个是可以 $\mathcal O(1)$ 求的,也就是对于一个 $j$,他对答案的贡献为:

$$v_j \times (x_j \times (i-l+1)-sumx_{[l,i]}+sumx_{[i+1,mid]}-x_j \times (mid -i))$$

但注意,能将其如上计算的前提是 $[l,mid]$ 和 $[mid+1,r]$ 分别按照 $x$ 进行排序。

我们都知道有归并排序,所以可以处理完上面这些之后再将 $[l,r]$ 以 $x$ 为关键字排一下序。我们不用在处理答案前排序的原因应该很简单,因为有递归函数帮我们处理 $[l,mid]$ 和 $[mid+1,r]$ 的顺序问题,只需要为 $[l,r]$ 外面的区间服务即可。

代码放的是处理贡献的部分。

Code

int mid = (l + r) / 2;
solve(l, mid);
solve(mid + 1, r);
memset(sum, 0, sizeof(sum));
for (int i = l; i <= r; i++) sum[i] = sum[i - 1] + a[i].x;
int i = l - 1;
for (int j = mid + 1; j <= r; j++) {
    while (a[i + 1].x <= a[j].x && i < mid)
        i++;
    ans += a[j].v * ((i - l + 1) * a[j].x - sum[i] + sum[mid] - sum[i] - (mid - i) * a[j].x);
}
分类: 文章

Shuchong

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