前言

在《数学一本通》上看到了几道盒球问题,所以很好奇所有盒球问题的解法。有错误请大佬指出。

T1

题目描述:新年到了,小 J 的好朋友小 X 等 n 人向 TA 要新年礼物,小 J 有 m 块一模一样的糖果,送给不同的 n 人(允许不送),有多少种送法。
题目分析:球不编号,盒子编号,允许空盒。
解题方法:设想有 m 个糖果排成一排,要在其中随意地插入 n-1 个挡板分成 n 个区间,表示 n 个礼物,那么就是说有 m+n-1 个位置,要选择 m 个位置放糖果,那么:
$$C_{m+n-1}^m$$

T2

题目描述:上次小 J 因为没有给小 A 送礼物被打了,所以今年送礼物的时候所有人都要送到,求有多少种送法。
题目分析:球不编号,盒子编号,不允许空盒。
解题方法:设想有 m 个糖果排成一排,那么每两块糖果之间有一个位置,一共有 m-1 种位置,这些位置放 n-1 块隔板就可以把糖果分成 n 个区间,所以:
$$C_{m-1}^{n-1}$$

T3

题目描述:上次小 J 因为给小 F 送的糖果最少被打了,所以今年送礼物的时候 TA 干脆装了 n 个盒子,有空盒,让朋友们凭运气抽一个。
题目分析:球不编号,盒子不编号,允许空盒
解题方法:假设 g(i,j) 表示前 j 个盒子放 i 个糖果,那么要么没空盒要么有空盒,如果有空盒,就是 g(i,j-1) 种,如果没有空盒,先一个盒子放一个糖果,然后其它的球瞎扔,有 g(i-j,j) 种。
$$g(i,j)=g(i,j-1)+g(i-j,j)$$
边界条件:如果 i=0 或者 j=1,g(i,j)=1。如果 j 比 i 大,g(i,j)=g(i,i)

T4

题目描述:小 W 脸非常黑,每次小 J 送礼都抽到空盒,所以小 J 还是不装空盒了。
题目分析:球不编号,盒子不编号,不允许空盒
解题方法:就是上一题那样的递推式,但是最后的答案是 g(m-n,m) 哦。

T5

题目描述:大家都说小 J 的礼物太没有新意了!小 J 只好去买了 m 个不同的水果,往 n 个相同的盒子里装,不允许空盒,有多少种方法?
题目分析:球编号,盒子不编号,不允许空盒
解题方法:用 f(i,j) 表示前 j 个盒子里装前 i 个球的方法,那么第 i 个球可以装在还是空着的第 j 个盒子里,也可以在前 j 个盒子都非空的情况下随便瞎扔到一个盒子里,得到递推式子:
$$f(i,j)=f(i-1,j-1)+f(i-1,j)×j$$

T6

题目描述:小 J 考虑到送的人不同,还是应该在盒子上标号,求多少种送法?(依然是送水果)
题目分析:球编号,盒子编号,不允许空盒
解题方法:既然盒子编号了,那么 f 还是 T5 的 f,最后答案就是:
$$f(n,m)×(n!)$$

T7

题目描述:小 J 因为送礼的问题如此头痛,以至于 TA 今年不想送礼了!TA 把买来的 m 个不同的水果随机的往前面的相同的 n 个礼物盒里砸,由于脸白,TA 不会扔到礼物盒外,求最后小 J 可能扔出几种情况
题目分析:球编号,盒子不编号,允许空盒
解题方法:不空(考虑 n 个盒子),空一个盒子(考虑剩下的 n-1 个盒子),空两个盒子(考虑剩下的 n-2 个盒子)….. 得到答案为(f 还是那个 f):
$$\sum_{i=1}^m f(n,i)$$

T8

题目描述:小 T 其实早已帮小 J 把盒子编号了… 那么小 J 可能扔出几种情况呢?
题目分析:球编号,盒子编号,允许空盒
解题方法:小 J 的心情很不好是不是?他扔一个水果过去,水果可能落在 n 个礼物盒的任一个里对吧?所以有 n 种情况对吧,每一次都是 n 种对吧?所以答案就是:
$$n^m$$

后记

小 J 由于不送礼被打死没就不是我可以知道的事了。

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litble

苟...苟活者在淡红的血色中,会依稀看见微茫的希望

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