Problem

BZOJ

Solution

我考场上的时候并没有想到求什么 gcd 的。。

我们可以用 hash 来完成这个匹配操作，这个 hash 函数的要求很严格，它要满足这么 3 点：

• 根据给定的 $a_1,d,len$，可以在 $O(1)$或 $O(\log n)$的级别上出解
• 与顺序无关
• 满足区间加法

我想到的是用方差，方差由于浮动性很大，所以很难被卡。
$S^2=\sum_{i=1}^n (a_i-\overline{a})^2=\sum_{i=1}^n (a_i^2-2\overline{a}a_i+\overline{a}^2)$
用一个线段树维护平方的和，和以及区间最小 (用于求 a1) 即可，然后这样就可以求出实际的方差。
理论上的方差怎么求？分类讨论一下，奇数长度时，$S^2=2k^2\sum_{i=1}^{n/2} i^2$，后面用公式 $n(n+1)(2n+1) \over 6$即可。偶数长度呢，$S^2=\frac {k^2\sum_{i=1}^{(n-1)/2} (2i-1)^2} {2}$，后面不会用公式了，干脆预处理一下。
当长度为偶数且 k 为奇数，那 mid 可能是一个小数，所以就比较麻烦，为了方便，我们采用模意义下的方差，注意读入的时候也要取模即可。

Code

#include <algorithm>
#include <cstdio>
#define rg register
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=300010,INF=0x3f3f3f3f,mod=1000000007,inv=500000004,inv6=166666668;
template <typename Tp> inline void read(Tp &x)
{
    x=0;char ch=getchar();int f=0;
    while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9')) ch=getchar();
    if(ch=='-') f=1,ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    if(f) x=-x;
}
inline int pls(int x,int y){return x+y>=mod?x+y-mod:x+y;}
inline int dec(int x,int y){return x<y?x+mod-y:x-y;}
struct infor{
    int a2,a,mn;
    infor operator + (const infor &t)const{
        return (infor){pls(a2,t.a2),pls(a,t.a),min(mn,t.mn)};
    }
}fir;
int n,m,cnt,op,x,y,k,mn[maxn<<2],a[maxn<<2],a2[maxn<<2],sum[maxn];
void pushup(int rt)
{
    a[rt]=pls(a[rt<<1],a[rt<<1|1]);
    a2[rt]=pls(a2[rt<<1],a2[rt<<1|1]);
    mn[rt]=min(mn[rt<<1],mn[rt<<1|1]);
}
void build(int l,int r,int rt)
{
    if(l==r){read(a[rt]);a[rt]%=mod;a2[rt]=(ll)a[rt]*a[rt]%mod;mn[rt]=a[rt];return ;}
    int m=(l+r)>>1;
    build(l,m,rt<<1);build(m+1,r,rt<<1|1);
    pushup(rt);
}
void update(int l,int r,int pos,int val,int rt)
{
    if(l==r){mn[rt]=a[rt]=val;a2[rt]=(ll)val*val%mod;return ;}
    int m=(l+r)>>1;
    if(pos<=m) update(l,m,pos,val,rt<<1);
    else update(m+1,r,pos,val,rt<<1|1);
    pushup(rt);
}
infor query(int l,int r,int L,int R,int rt)
{
    if(L<=l&&r<=R) return (infor){a2[rt],a[rt],mn[rt]};
    int m=(l+r)>>1;infor res;res.a2=0ll;res.a=0;res.mn=INF;
    if(L<=m) res=res+query(l,m,L,R,rt<<1);
    if(m<R) res=res+query(m+1,r,L,R,rt<<1|1);
    return res;
}
int getfc(int len,int a1,int d)
{
    if(len&1)
    {
        len>>=1;
        return (ll)d*d%mod*2%mod*len%mod*(len+1)%mod*(len<<1|1)%mod*inv6%mod;
    }
    else return (ll)d*d%mod*sum[len>>1]%mod*inv%mod;
}
int power(int x,int y)
{
    int res=1;
    for(;y;y>>=1,x=(ll)x*x%mod)
      if(y&1)
        res=(ll)res*x%mod;
    return res;
}
int main()
{
    #ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("in.txt","r",stdin);
    #endif
    read(n);read(m);
    build(1,n,1);
    for(rg int i=1;i<=n;i++) sum[i]=pls(sum[i-1],(ll)(i+i-1)*(i+i-1)%mod);
    while(m--)
    {
        read(op);read(x);read(y);
        x^=cnt;y^=cnt;
        if(op==1){y%=mod;update(1,n,x,y,1);}
        else
        {
            if(x>y) swap(x,y);
            read(k);k^=cnt;
            fir=query(1,n,x,y,1);
            int fc=getfc(y-x+1,fir.mn,k),mid,tmp=0;
            mid=(ll)fir.a*power(y-x+1,mod-2)%mod;
            tmp=pls(dec(fir.a2,(ll)mid*2%mod*fir.a%mod),(ll)(y-x+1)*mid%mod*mid%mod);
            if(tmp==fc) puts("Yes"),cnt++;
            else puts("No");
        }
    }
    return 0;
}